Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 180 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

176
по условию, то 0)()(
21
=
− xfxf . Значит, каковы бы ни были
21
, xx верно, что
)()(
12
xfxf = , т.е.
()
constxf = .
Теорема доказана.
Теорема 11. (признак монотонности функции).
Если функция
()
xfy =
непрерывна на
[
]
ba;
, дифференцируема на
(
)
ba;
и
0)( ≥
′
xf для любого );( bax ∈ , то функция возрастает на этом промежутке.
Если
0)( ≤
′
xf для любого );( bax
∈
, то функция убывает на
()
ba;
.
Доказательство. Возьмем две произвольные точки
];[,
21
baxx
∈
та-
кие, что
21
xx < . По теореме Лагранжа имеем ),)(()()(
1212
xxcfxfxf
−
′
=
−
где
);( bac ∈ .Значит по условию 0)( ≥
′
cf . Имеем 0
12
>
−
xx , следовательно,
0)()(
12
≥− xfxf , то есть )()(
21
xfxf
≤
, что означает возрастание функции на
()
ba; .
Аналогично доказывается убывание функции.
Геометрически утверждение теоремы означает, что в каждой точке гра-
фика возрастающей функции касательная либо образует острый угол с поло-
жительным направлением оси Ox, либо параллельна оси Ox, а в каждой точке
графика убывающей функции касательная либо образует тупой угол с поло-
жительным направлением оси Ox, либо
параллельна оси Ox. (рис.10 (а,б)).
α
x
y
y=f(x)
Рис. 10
0 x
0
a)
α
x
y
y=f(x)
0
x
0
б)
Например, для функции
3
xy = имеем 03
2
≥=
′
xy при Rx ∈ , значит
функция
3
xy = возрастающая функция. Касательная к графику данной функ-
ции в точке О (0; 0) параллельна оси Ox, а в остальных точках графика обра-
зует с осью Ox острый угол (см. рис.11).

Страницы