Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 182 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

178
нимума) функции
()
xfy = , а значение )(
0
xf называют максимумом (миниму-
мом) этой функции, если в некоторой окрестности этой точки при
0
xx
≠
вы-
полняется неравенство
)()(
0
xfxf
≤
( )()((
0
xfxf ≥ ). В дальнейшем будем рас-
сматривать так называемый «строгий» экстремум.
Замечание 17. Функция
(
)
xfy
=
на данном промежутке может иметь и
не один экстремум, причем некоторые из минимумов могут быть больше не-
которых из ее максимумов.
Замечание 18. Экстремальные точки функции должны быть внутрен-
ними для области определения данной функции, конечные значения области
определения функции не могут относиться к экстремальным, т.к. они не при-
надлежат
области определения вместе с некоторой своей окрестностью слева
или справа.
Замечание 19. Экстремальные значения функции нельзя смешивать с
понятием наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке ее
задания. Экстремальное значение функции в точке – максимальное или ми-
нимальное по отношению к близлежащим значениям. Под наибольшем (наи-
меньшем ) значении функции на отрезке
[
]
ba;
понимают такое ее значение,
больше (меньше) которого нет ни в одной точке, включая и концы отрезка.
Теорема 12. (необходимое условие экстремума).
Если функция
()
xfy =
непрерывна на промежутке X и во внутренней
точке
0
x этого промежутка имеет экстремум )(
0
xf , то в точке
0
x 0)(
0
=
′
xf
или
)(
0
xf
′
не существует.
Доказательство следует из теоремы Ферма.
Теорема 13. (первое достаточное условие экстремума).
Пусть функция
(
)
xfy = непрерывна в точке
0
x . Если слева от точки
0
x
производная функции положительна (отрицательна), а справа от
0
x отрица-
тельна (положительна), то
0
x - точка максимума (минимума) функции
()
xfy = . Если производная не меняет знак слева и справа от точки
0
x , то
0
x не
является точкой экстремума.

Страницы