Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 187 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

183
Замечание 20. Это исследование функции на экстремум оказывается
более удобным, если вычисление второй производной не приводит к
громоздким вычислениям.
Замечание 21. Если
(
)
0
0
=
′
′
xf или не существует, то применение этого
плана не решает вопрос об экстремуме функции. В этом случае
рекомендуется находить экстремумы с помощью первой производной (см.
выше).
Пример 49. Найти экстремумы функции
(
)
234
44 xxxxf +−= .
Решение: Функция определена и непрерывна на всей числовой
прямой.
1)
()
xxxxf 8124
23
+−=
′
.
()
0=
′
xf при 08124
23
=+− xxx , 0)23(4
2
=+− xxx , то есть 0
1
=x , 1
2
=x , 2
3
=
x .
Других стационарных точек нет, так как
(
)
xf
′
непрерывна на R.
2)
()
82412
2
+−=
′′
xxxf . Определим знак
(
)
xf
′
′
в каждой стационарной
точке:
()
080 >=
′′
f , значит,
0=x
– точка минимума функции, причем
()
00 =f ;
()
041 <−=
′′
f , значит,
1=x
– точка максимума, причем
(
)
11 =f ;
()
082 >=
′′
f , значит, 2=x – точка минимума функции, причем
()
02
=
f (см.
рис. 16).
0
x
y
Рис. 16
1
1
2
Задания для самостоятельной работы
Найти промежутки монотонности и экстремумы следующих функций:
1.
81232
23
+−−= xxxy . 6.
5
1+= xy .

Страницы