Составители:
Рубрика:
185
0 x
y
Рис. 17
y
=f(x)
0 x
y
Рис. 18
y
=f(x)
Замечание 22. Вместо термина «выпуклость вниз (вверх)» иногда
употребляют термин «вогнутость (выпуклость)».
Теорема 15. (достаточное условие выпуклости). Если в некотором
интервале
() ()()
00
<
′′
>
′′
xfxf
, то график функции обращен выпуклостью
вниз (вверх) на этом интервале.
Доказательство. Возьмем произвольную точку
Xx ∈
0
. Докажем,
что при
()
0>
′′
xf
и одном и том же значении Xx
∈
значение функции
(
)
xfy
=
больше ординаты касательной
(
)
(
)
(
)
000.
xxxfxfy
кас
−
′
+
=
, то есть функция
выпукла вниз (см. рис. 18).
Исследуем знак разности
(
)()()
(
)
=
−
′
+
−
=
−
)(
000.
xxxfxfxfyy
кас
() ( )()()()
000
xxxfxfxf −
′
−−= . По теореме Лагранжа
(
)()
(
)
(
)
00
xxcfxfxf
−
′
=− ,
где
()
0
; xxc ∈ . Значит,
(
)
(
)
(
)
(
)()()()
(
)
00000.
xxxfcfxxxfxxcfyy
кас
−
′
−
′
=
−
′
−
−
′
=
− .
По теореме Лагранжа имеем
(
)
(
)
(
)
(
)
00
xcfxfcf
−
′
′
=
′
−
′
ξ
, где
()
0
; xc∈
ξ
. Значит,
()( )( )
00.
xxxcfyy
кас
−
−
′′
=−
ξ
. По условию
(
)
0>
′
′
ξ
f , 0
0
<
−
xc , 0
0
<
− xx при
0
xx < и 0
0
>− xc , 0
0
>− xx при
0
xx > . Следовательно, 0
.
>−
кас
yy для любого
Xx ∈ , то есть
.кас
yy > , что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается выпуклость функции вверх при
()
0
<
′′
xf
.
Определение. Точкой перегиба называется точка графика функции,
где меняется направление выпуклости.
На рис. 19 изображен график функции
(
)
xfy
=
с точкой перегиба
М(
()
00
; xfx ).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- …
- следующая ›
- последняя »
