Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 190 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

186
0 x
y
Рис. 19
y
=f(x)
M
x
0
f(x
0
)
Справедлива следующая теорема 16 (необходимое условие точки перегиба).
График функции
()
xfy = имеет перегиб в точке М
()
);(
00
xfx тогда, когда
()
0
0
=
′′
xf или
()
0
xf
′′
не существует.
Теорема 17 (достаточное условие точки перегиба).
Если вторая производная
(
)
xf
′
′
функции
(
)
xfy
=
слева и справа от точки
0
x
имеет разный знак, то точка
0
x является точкой перегиба графика функции.
Доказательство. Пусть при переходе через точку
0
x
()
xf
′′
меняет знак с
«+» на «–». Докажем, что М(
(
)
00
; xfx ) – точка перегиба, в которой график функции
()
xfy = меняет выпуклость вниз на выпуклость вверх. Тогда вблизи точки
0
x слева
от нее
()
0>
′′
xf
, значит, по достаточному условию выпуклости функции
(
)
xfy
=
выпукла вниз. Вблизи точки
0
x справа от нее
(
)
0
<
′
′
xf , значит, функция
(
)
xfy
=
выпукла вверх. Следовательно, при переходе через точку
0
x график функции
()
xfy = меняет выпуклость вниз на выпуклость вверх, это означает, что
М(
()
00
; xfx ) – точка перегиба.
Аналогично доказываются другие случаи.
Замечание 23. График функции может менять выпуклость не только при пе-
реходе через точку перегиба, но и при переходе через точку разрыва. Например, у
графика функции
х
y
1
= точка 0
0
=
x является точкой бесконечного разрыва этой
функции. Слева от точки
0
x
0
2
3
<=
′′
х
y
и график функции обращен выпуклостью

Страницы