Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 195 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

191
отыскать вертикальные асимптоты, нужно найти все точки, где функция
()
xfy = имеет бесконечный разрыв.
2.
Наклонная асимптота.
Рассмотрим функцию
(
)
xfy
=
, определенную для сколь угодно боль-
шого положительного значения аргумента, т.е. при
+∞→
x
. (Аналогично
можно рассмотреть функцию, определенную для сколь угодно малого отри-
цательного аргумента, то есть при
−
∞→
x
).
Определение. Прямая
bkxy
+
=
называется наклонной асимптотой
графика функции
()
xfy = при
+
∞→
x
, если функцию можно представить в
виде
()
)(xbkxxf
α
++= , где
(
)
x
α
- бесконечно малое при
+
∞→
x
, т.е.
()
0lim =
+∞→
x
x
α
.
Теорема 18. Для того, чтобы график функции
()
xfy
=
имел при
+
∞→
x
наклонную асимптоту
bkxy
+
=
, необходимо и достаточно, чтобы существо-
вали конечные пределы:
(
)
k
x
xf
x
=
+∞→
lim ,
(
)
(
)
bkxxf
x
=
−
+∞→
lim .
Доказательство. 1. Необходимость. Пусть график функции
(
)
xfy
=
имеет наклонную асимптоту
bkxy
+
=
при
+
∞→
x
, т.е. имеет место равенство
()
)(xbkxxf
α
++= , где
()
x
α
- бесконечно малое при
+
∞→
x
. Тогда
() ()
(
)
k
x
x
x
b
x
kx
x
xbkx
x
xf
xxx
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
++
=
+∞→+∞→+∞→
αα
limlimlim
;
()()
(
)()
(
)
(
)
bxbkxxbkxkxxf
xxx
=
+
=
−
++=−
+∞→+∞→+∞→
limlimlim .
2. Достаточность. Пусть существуют пределы
(
)
k
x
xf
x
=
+∞→
lim
и
()()
bkxxf
x
=
−
+∞→
lim .
Тогда
()()
(
)
(
)
0limlim
=
−
−
=−−
+∞→+∞→
bkxxfbkxxf
xx
, т.е.
()
)(xbkxxf
α
++= , где
()
0lim =
+∞→
x
x
α
. Значит, прямая bkxy
+
=
является наклонной асимптотой графика
функции
()
xfy = при +∞→
x
. Теорема доказана.
Замечание 25. Аналогично определяется наклонная асимптота и дока-
зывается теорема для случая, когда
−
∞→
x
.

Страницы