Составители:
Рубрика:
192
Замечание 26. Существование двух конечных пределов
(
)
x
xf
x +∞→
lim и
()()
kxxf
x
−
+∞→
lim (аналогично при
−
∞→
x
) является обязательным условием для
существования наклонной асимптоты при
+
∞→
x
(при −∞→
x
). Например,
график функции
xy = не имеет асимптот, т.к.
0lim ==
+∞→
x
x
k
x
, но
(
)
∞=⋅−=
+∞→
xxb
x
0lim .
Замечание 27. Если существуют только два конечных предела
(
)
x
xf
x +∞→
lim
и
()()
kxxf
x
−
+∞→
lim или
()
x
xf
x −∞→
lim и
(
)
(
)
kxxf
x
−
−∞→
lim , то график функции имеет только
правостороннюю или левостороннюю асимптоту.
Замечание 28. При исследовании расположения графика функции
()
xfy = относительно асимптот, отдельно рассматриваются случаи при
+∞→
x
и
−
∞→
x
. В каждом случае можно определить знак разности
() ( )
bkxxf +−
. Если знак этой разности положителен, то график функции
()
xfy = расположен над асимптотой, а если знак отрицателен, то под асим-
птотой. Если же разность меняет знак в зависимости от определенного зна-
чения
x
, то асимптота пересекает график функции.
Пример 52. Найти наклонные асимптоты графика функции
1
53
2
+
++
=
x
xx
y
.
Решение: Найдём
()
1
1
53
limlim
2
=
+
++
==
+∞→+∞→
xx
xx
x
y
k
xx
.
Найдём
()
2
1
52
lim
1
53
lim
1
53
limlim
222
=
+
+
=
+
−−++
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
++
=−=
+∞→+∞→+∞→+∞→
x
x
x
xxxx
x
x
xx
kxyb
xxxx
.
Следовательно, при
+∞→
x
график функции имеет наклонную асимпто-
ту
2+=
x
y . Аналогично, при
−
∞→
x
можно убедиться, что значение пара-
метров
k
и b принимают те же значения. Значит, при +∞→
x
и при
−
∞→
x
график функции имеет единственную наклонную асимптоту
2+=
x
y .
Ответ:
2+=
x
y .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- …
- следующая ›
- последняя »
