Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 200 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

196
Решение. а)
43
4 xxy −= .
1.
Область определения функции:
(
)
∞
+
∞
−
; .
2.
Исследуем на четность и нечетность:
(
)
(
)()
43
43
44 xxxxxy −−=−−−=− .
() ()()
(
)
xyxyxyxy −≠−≠− ,
. Функция не является ни четной, ни нечетной.
3.
Найдём точки пересечения с осями координат:
С осью
Oy :
0=x
, тогда 0=y .
С осью
Ox : 0=y , тогда
(
)
4,0,04,04
343
===−=− xxxxxx .
Точки пересечения с осью
Oy и Ox
(
)
0;0 и
(
)
0;4 .
4.
а) Вертикальных асимптот график функции не имеет, т.к. функция всю-
ду непрерывна.
б) Найдем невертикальные асимптоты графика функции, имеющие об-
щий вид
bkxy +
=
:
()
−∞=−=
−
==
+∞→+∞→+∞→
xx
x
xx
x
y
k
xxx
4lim
4
limlim
2
43
.
Значит, при
+∞→
x
асимптоты (правосторонней) график функции не
имеет. Аналогично при
−
∞→
x
можно показать, что левосторонней асимпто-
ты график функции также не имеет. Значит, невертикальных асимптот гра-
фик функции не имеет.
5.
Найдем интервалы монотонности и точки экстремума.
(
)
xxxxy −=−=
′
34412
232
.
0=
′
y при 0=x , 3=x - критические точки. Исследуем знак производной слева
и справа от каждой критической точки:
x
03
max
При
()
3;
∞
−∈x
график функции возрастает, при
()
∞+∈ ;3x
убывает, при
3=x
функция имеет максимум и
(
)
273
=
y
.
6. Найдём интервалы выпуклости вверх и вниз, точки перегиба.

Страницы