Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 221 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

217
Решение. Данный интеграл легко вычисляется, если применять свой-
ство 5), принимая за u(x) функцию
xu 3
=
. Имеем
()
(
)
(
)
∫
∫
+==⋅ Cxxdxdxx 3sin33cos33cos .
Пример 5. Вычислить
∫
+
dxe
x 15
.
Решение. Аналогичным образом получим
() ()
∫∫ ∫
+=+=+⋅=
++++
Cexdexdedxe
xxxx 15151515
5
1
15
5
1
15
5
1
.
Пример 6. Вычислить
∫
+ 3x
dx
.
Решение. Вновь используем свойство 5), полагая
3+= xu . Получим
(
)
∫∫
++=
+
+
=
+
Cx
x
xd
x
dx
3ln
3
3
3
.
Пример 7. Вычислить
∫
xdxx sincos
3
.
Решение. Пусть
x
u cos= . Тогда
()
∫∫
+−=−= C
x
xxdxdxx
4
cos
coscossincos
4
33
.
Преобразования, которые проводятся в примерах 3 – 6, называются
подведением функции (в каждом примере – своей !) под знак дифференциа-
ла, а интегрирование с применением свойств 3) – 5) называется непосредст-
венным.
Задания для самостоятельной работы
1. Проверить справедливость равенств:
а)
∫
+= Cxtg
x
dx
3
3
1
3cos
2
; б)
∫
+= C
x
x
dx
3
3
2
3
;
в)
∫
+=
+
C
x
arctg
x
dx
88
1
8
2
; г)
∫
++−= Cx
x
dx
x
2
cos
2
1
2
sin .
2. Найти интегралы:
а)
∫
+− dx
x
x )
4
1(
2
3
; б)
∫
−
dx
x
x
3
3
;
в)
∫
dx
x
2
sin
2
; г)
∫
−
2
5 x
dx
;

Страницы