Составители:
Рубрика:
219
Замечание 3. После интегрирования с помощью замены переменной
следует вернуться к «старой» переменной на основании равенств (7) или (9).
Пример 8. Найти
(
)
dxx
∫
− 74sin .
Решение. Введем новую переменную по формуле
xt 74 −= (замена
вида (9)). Отсюда
()
dxxddt 774
−
=
−
=
. Тогда dtdx
7
1
−= . Подставляя в инте-
грал, имеем
() ()
∫∫ ∫
+=+−−=−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅=− CtCttdtdttdxx cos
7
1
cos
7
1
sin
7
1
7
1
sin74sin
.
Вернемся к переменной х:
() ()
∫
+−=− Cxdxx 74cos
7
1
74sin
.
Замечание 4. Данный интеграл, как и некоторые рассмотренные ниже,
можно вычислить непосредственно, подводя под знак дифференциала соот-
ветствующую функцию. Действительно, имеем
() () () ()() ()
∫∫ ∫
+−=−−−=−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅−=− Cxxdxxdxdxx 74cos
7
1
7474sin
7
1
74
7
1
74sin74sin
.
Пример 9. Найти
∫
+
5
2
x
xdx
.
Решение. Полагаем
5
2
+= xt . Тогда
xdxdt 2
=
. Отсюда
(
)
∫∫
++=+==
+
CxCt
t
dt
x
xdx
5ln
2
1
ln
2
1
2
1
5
2
2
.
Пример 10. Найти
∫
+
dx
x
arctgx
2
1
.
Решение. Применим подстановку
tarctgx
=
. Тогда dx
x
dt
2
1
1
+
=
. По-
лучим
∫∫
+=+==
+
CxarctgC
t
dttdx
x
arctgx
3
2
3
2
3
2
3
2
1
.
Пример 11. Найти
∫
x
x
dx
2
ln
.
Решение. Делаем замену переменной
dx
x
dtxt
1
;ln == . Имеем
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- …
- следующая ›
- последняя »
