Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 225 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

221
в)
∫
x
xdx
4
sin
cos
; г)
∫
+
x
dxx
3
ln1
; д)
()
∫
+
3
14x
dx
.
Ответ: а)
()
Cx +−− 23sin
2
1
; б)
(
)
C
x
+
+
3
1
3
2
; в) C
x
+−
3
sin
3
;
г)
()
C
x
+
+
4
ln13
3
4
; д)
()
C
x
+
+
−
2
148
1
.
§ 5. Интегрирование по частям
Теорема 4. Пусть
)(xu
и
)(xv
- две непрерывно дифференцируемые
функции. Тогда справедлива формула
∫
∫
′
−=
′
dxxuxvxvxudxxvxu )()()()()()(
. (15)
Формула (15) называется формулой интегрирования по частям.
Теорема легко доказывается на основании известного соотношения:
()
vuvuuv
′
+
′
=
′
.
Тогда
()
vuuvvu
′
−
′
=
′
.
Учитывая, что
()
∫
+=
′
Cuvdxuv
,
окончательно получаем
∫
∫
′
−=
′
vdxuuvdxvu
.
Теорема доказана.
Пример 14. Найти
∫
xdxx cos
.
Решение. Положим
x
u
=
,
xv cos
=
′
, тогда
dxdu
,
xv sin=
.
Заметим, что для нахождения
)(xv нам достаточно найти какую-нибудь
одну из первообразных. Удобно считать
0
=
C
.
Далее, применяя к данному интегралу формулу (15), получим
∫∫
++=−= Cxxxxdxxxxdxx cossinsinsincos
.

Страницы