Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 227 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

223
Решение. Положим xu ln
=
, 1
=
′
v ; тогда
x
u
1
=
′
,
x
v = . Следовательно,
∫∫∫
+−=−=−= Cxxxdxxxxdx
x
xxxdx lnln
1
lnln .
Пример 16. Вычислить интеграл
∫
xdxx 3sin
2
.
Решение. Положим
2
xu = ,
xv 3sin
=
′
. Тогда
xu 2
=
′
,
xv 3cos3−=
.
Применяя формулу (15), найдем
∫
∫
+−= xdxxxxxdxx 3cos63cos3sin
22
.
Полагая в последнем интеграле
u
x
=
, vx
′
=
3cos ; 1=
′
u , xv 3sin
3
1
= и
вновь применяя формулу (15), получим
∫
∫
=−+−= xdxxxxxxdxx 3sin23sin23cos33sin
22
CxxxxCxxxxx ++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=+++−= 3sin23cos3
3
2
3cos
3
2
3sin23cos3
22
.
Пример 17. Вычислить
∫
xdxe
x
cos
2
.
Решение. Применим формулу (15), принимая
x
eu
2
= , xv cos=
′
. Тогда
x
eu
2
2=
′
, xv sin= . Имеем
∫
∫
−= xdxexexdxe
xxx
sin2sincos
222
.
Повторно применим метод интегрирования по частям:
x
eu
2
= ,
xv sin=
′
;
x
eu
2
2=
′
,
x
v cos
−
=
, тогда
∫
∫
−+=− xdxexexexdxexe
xxxxx
cos4cos2sinsin2sin
22222
.
Обозначая исходный интеграл
∫
= xdxeI
x
cos
2
, мы получили уравнение
(
)
IxxeI
x
4cos2sin
2
−+= .
Решая данное уравнение относительно искомого интеграла I, получим окон-
чательный результат
()
xxeI
x
cos2sin
5
1
2
+=
.
Задания для самостоятельной работы
Методом интегрирования по частям найти интегралы.
а)
()
∫
− dxxx 2ln ; б)
∫
−
dxxe
x2
; в)
∫
xdxx cos
2
;

Страницы