Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 228 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

224
г)
∫
arctgxdx ; д)
∫
xdxe
x
sin .
Ответ: а)
() ()
Cxx
x
x
x
+−−−−− 2ln2
4
2ln
2
22
; б) Cee
x
xx
+−−
−− 22
4
1
2
;
в) Cxxxxx +−+ sin2cos2sin
2
; г)
()
Cxxarctgx ++−
2
1ln
2
1
;
д)
()
Cxxe
x
+− cossin
2
1
.
Замечание 7. Выше было отмечено, что всякая непрерывная на некото-
ром промежутке функция имеет на этом промежутке первообразную. В част-
ности, все элементарные функции интегрируемы на промежутках, на кото-
рых они определены. Однако не всякая первообразная от элементарной
функции может быть выражена через элементарные функции.
Например, никакой из рассмотренных выше приемов
не позволяет най-
ти интеграл
∫
xtgxdx
(хотя первообразная существует, так как функция
x
tgx непрерывна, напри-
мер, на промежутке
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
3
;0
π
).
Каждый интеграл, не выражающийся через элементарные функции
(«не берущийся» в элементарных функциях), является новой (и притом не
элементарной) функцией.
Таким образом, интегральное исчисление является источником целого
ряда новых функций, для которых, если в этом есть необходимость, вводятся
специальные обозначения, изучаются их свойства и составляются таблицы их
значений. В частности, такие
новые функции были порождены следующими
«неберущимися» интегралами:
∫
−
dxe
x
2
(«интеграл вероятности»);
()
∫
dxx
2
sin
и
(
)
∫
dxx
2
cos
(«интегралы Френеля»);
∫
dx
x
x
sin
и
∫
dx
x
x
cos
(«интегральные синус и косинус»);

Страницы