Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 226 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

222
Замечание 6.
1. Применение метода интегрирования по частям будет успешным, если ин-
теграл
∫
′
vdxu
в правой части формулы (15) окажется «проще» интеграла
∫
′
dxvu
. При этом подынтегральная функция того интеграла, к которому
применяется метод, разбивается на два сомножителя:
u
и
v
′
так, чтобы
первый при дифференцировании по возможности «упрощался», а второй
без труда интегрировался.
2. Иногда в одном и том же примере интегрирование по частям приходится
применять последовательно несколько раз.
3. Метод интегрирования по частям имеет более ограниченную область
применения, чем метод подстановки. Однако есть целые классы интегра-
лов, которые вычисляются
именно с помощью интегрирования по частям.
Приведем ряд часто встречающихся интегралов, которые находятся этим
методом:
а) Интегралы вида:
()
∫
dxexP
ax
n
;
(
)
∫
axdxxP
n
sin ;
(
)
∫
axdxxP
n
cos ,
где
()
xP
n
- многочлен степени n, a – постоянное число. В этом случае пола-
гают
()
xPu
n
= и применяют метод n раз.
б) Интегралы вида:
()
∫
xdxxP
n
ln ;
()
∫
xdxxP
n
arcsin ;
(
)
∫
xdxxP
n
arccos ;
(
)
∫
arctgxdxxP
n
;
()
∫
arcctgxdxxP
n
,
где
()
xP
n
указанный многочлен. В качестве
(
)
xu выбирают трансцендентную
функцию, а
()
xPv
n
=
′
.
в) Интегралы вида
∫
bxdxe
ax
sin ;
∫
bxdxe
ax
cos .
Здесь после двукратного применения метода приходим к уравнению, в
котором в качестве неизвестного выступает вычисляемый интеграл.
Рассмотрим ряд примеров.
Пример 15. Вычислить интеграл
∫
xdxln .

Страницы