Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 230 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

226
Поскольку интегрирование целого многочлена не представляет ника-
ких трудностей, то задача интегрирования произвольной рациональной дро-
би (1) сводится к задаче интегрирования правильной рациональной дроби.
Разложение правильной рациональной дроби на простейшие
Определение. Правильные рациональные дроби вида
I.
ax
А
−
;
II.
()
2,, ≥∈
−
mNm
ax
A
m
;
III.
qpxx
NMx
++
+
2
, 04
2
<−= qpD (квадратный трехчлен qpxx ++
2
не имеет
действительных корней);
IV.
()
04,2,,
2
2
<−=≥∈
++
+
qpDmNm
qpxx
NMx
m
называются простейшими дробями I, II, III, IV типов соответственно.
Теорема 5. Всякая правильная рациональная дробь может быть пред-
ставлена в виде суммы простейших дробей.
Рассмотрим пример разложения правильной дроби на простейшие.
Пусть задана правильная дробь
(
)
()
xP
xQ
n
m
, знаменатель которой имеет вид
()
(
)
(
)
(
)
qpxxbxaxxP
n
++−−=
2
3
,
где a, b, p, q – действительные числа и
04
2
<−= qpD . Тогда правильную
дробь
()
()
xP
xQ
n
m
можно представить в виде суммы простейших дробей:
()
()()
()
()()
qpxx
NMx
bx
B
bx
B
bx
B
ax
A
qpxxbxax
xQ
m
++
+
+
−
+
−
+
−
+
−
=
++−−
23
3
2
211
2
3
,
где
NMBBBA ,,,,,
3211
– неопределенные (пока!) числа, которые нужно
найти (их называют неопределенными коэффициентами).
Из этой формулы видно, что множителям
(
)
ax
−
и
()
3
bx −
знаменателя
соответствуют дроби I и II типов, а квадратному трехчлену
qpxx ++
2
– про-
стейшая дробь III типа.

Страницы