Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 233 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

229
Следовательно,
∫∫
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+++=
++
+
C
p
q
p
x
dxMp
Nqpxx
M
dx
qpxx
NMx
42
2
ln
2
2
2
2
2
.
Поскольку
04
2
<− qp , имеем 0
4
2
>−
p
q , тогда для вычисления последне-
го интеграла можно использовать формулу 15 таблицы интегралов.
Окончательно получаем
∫∫
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+++=
++
+
2
2
2
2
2
42
2
2
ln
2
p
q
p
x
p
xd
Mp
Nqpxx
M
dx
qpxx
NMx
C
pq
px
arctg
pq
MpN
qpxx
M
+
−
+
−
−
+++=
22
2
4
2
4
2
ln
2
.
Пример 19. Найти интеграл
()
()
∫
++−
−+
dx
xxx
xx
11
13
2
2
2
.
Решение. В рассмотренном выше примере рациональная дробь, на-
ходящаяся под знаком интеграла, была разложена на простейшие. А именно
()
()
()
1
3
4
3
2
1
1
1
3
2
11
13
22
2
2
2
++
−−
+
−
+
−
=
++−
−+
xx
x
x
x
xxx
xx
.
Тогда
()
()
()
∫∫∫∫
−
−
−−=
++
+
−
−
+
−
=
++−
−+
1
1
1ln
3
2
1
42
3
1
1
13
2
11
13
22
2
2
2
x
xdx
xx
x
x
dx
x
dx
dx
xxx
xx
()
∫∫∫
=+
+
+
−
+
+
+
−
−
−−=+
++
++
− C
x
x
dx
dx
x
x
x
x
xCdx
x
x
x
11
12
3
1
1
1
1ln
3
2
1
312
3
1
222
∫
−++−
−
−−=+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−++−
−
−−= 1ln
3
1
1
1
1ln
3
2
4
3
2
1
2
1
1ln
3
1
1
1
1ln
3
2
2
2
2
xx
x
xC
x
xd
xx
x
x
()
C
x
arctg
x
xx
x
C
x
arctg +
+
−
−
−
++
−
=+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
3
12
3
2
1
1
1
1
ln
3
1
3
2
2
1
3
2
2
2
.

Страницы