Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 235 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

231
Таким образом, рассматриваемый интеграл приведен к виду (17).
В случае, когда m – нечетное, аналогичным образом данный интеграл
преобразуется к виду (18).
Пример 21. Найти
∫
xdxx
43
cossin .
Решение. Имеем
∫
∫
= xdxxxxdxx
4243
cossinsincossin
.
Обозначая
dtxdxtx
=
−
=
sin,cos , получим
() ( )
∫∫∫
++−=++−=−−=−−= C
xx
C
tt
dtttdtttxdxx
7
cos
5
cos
75
1cossin
7575
644243
.
4. Рассмотрим интеграл
∫
xdxx
nm
cossin , (20)
где m и n – неотрицательные и четные.
Для вычисления интегралов вида (20) используют известные из тригономет-
рии формулы понижения степени
2
2sin
cossin;
2
2cos1
cos;
2
2cos1
sin
22
x
xx
x
x
x
x =
+
=
−
= .
Пример 22. Вычислить интеграл
∫
xdx
4
cos .
Решение.
()
()
∫∫ ∫ ∫
=++=+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
= dxxxdxxdx
x
xdx 2cos2cos21
4
1
2cos1
4
1
2
2cos1
cos
2
2
2
4
()
∫∫ ∫ ∫
=++++=
+
++= Cdxxxxdx
x
xdxdx 4cos1
8
1
2sin
4
1
4
1
2
4cos1
4
1
2cos
2
1
4
1
C
xxx
C
xxxx
+++=++++=
32
4sin
4
2sin
8
3
32
4sin
84
2sin
4
.
5. Если вычисляется интеграл
∫
xdxx
nm
cossin , (21)
где показатели степеней m и n – оба четные, причем хотя бы один из них от-
рицателен, то следует сделать замену

Страницы