Составители:
Рубрика:
233
§ 8. Интегрирование некоторых иррациональных функций
1. Рассмотрим интеграл вида
dx
dcx
bax
dcx
bax
xR
k
k
n
m
n
m
∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
;;;
1
1
K , (23)
где a, b, c, d – действительные,
kk
mmnn ,,,,,
11
KK - натуральные числа.
Применяя подстановку
N
t
dcx
bax
=
+
+
,
где N – наименьшее общее кратное чисел
k
nn ,,
1
K , мы всегда сможем привес-
ти все подынтегральное выражение к рациональному виду (все корни, вхо-
дящие в интеграл, «извлекутся»).
Пример 24. Вычислить
∫
+
dx
x
x 3
.
Решение. Полагая
,2,3,3
22
tdtdxtxtx =−==+ находим
∫∫∫∫
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+=
−
=
−
=
+
dt
t
dt
t
t
tdt
t
t
dx
x
x
3
3
12
3
2
2
3
3
22
2
2
C
t
t
t
t
dt
dt +
+
−
+=
−
+=
∫∫
3
3
ln32
3
62
2
.
Значит,
∫
+
++
+−
++=
+
C
x
x
xdx
x
x
33
33
ln332
3
.
Пример 25. Вычислить
∫
+1
3
x
dxx
.
Решение. Подынтегральная функция содержит квадратный и кубиче-
ский корни из х. Наименьшим общим кратным чисел 2 и 3 будет число 6. По-
лагаем
dttdxtx
56
6, == (тогда извлекутся оба корня). Имеем
∫∫∫
+
=
+
⋅
=
+
1
6
1
6
1
2
8
2
53
3
t
dtt
t
dttt
x
dxx
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- …
- следующая ›
- последняя »
