Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 238 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

234
Получили интеграл от неправильной рациональной дроби. Выделяя целую
часть, находим
∫∫
=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+−+−=
+
Carctgtt
ttt
dt
t
ttt
t
dtt
357
6
1
1
16
1
6
357
2
246
2
8
()
(
)
Cxarctgx
xxx
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+−=
66
5
6
7
6
357
6
.
2. Интегралы вида
(
)
∫
− dxxaxR
22
; (24)
вычисляются с помощью замены
tax sin
=
.
3. Интегралы
(
)
∫
+ dxxaxR
22
; (25)
– с помощью подстановки
tt
g
a
x
=
.
4. Для интегралов
(
)
∫
− dxaxxR
22
; (26)
рекомендуется замена
ta
x
sec=
(то есть
t
a
x
cos
=
).
Замечание 8. Замены, рекомендуемые для интегралов (24) – (26), назы-
ваются тригонометрическими подстановками.
Приведем пример использования тригонометрической подстановки.
Пример 26. Вычислить
∫
− dxx
2
9 .
Решение. Положим
tx sin3
=
. Тогда
3
arcsin,cos3
x
ttdtdx ==
.
Получим
()
∫∫ ∫∫ ∫
=+=
+
==⋅−=− dttdt
t
tdttdttdxx 2cos1
2
9
2
2cos1
9cos9cos3sin999
222
C
xx
Ctt +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
3
arcsin2sin
4
9
3
arcsin
2
9
2sin
2
1
2
9
.

Страницы