Составители:
Рубрика:
236
ГЛАВА IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Рассмотрим две задачи, приводящие к понятию определенного инте-
грала.
1. Задача о массе стержня
Пусть стержень длины
l
имеет массу m.
Средней плотностью стержня называют отношение массы этого
стержня к его длине
l
m
ср
=
.
ρ
.
Плотностью стержня в данной его точке называется предел средней
плотности бесконечно малого участка стержня, стягивающегося в эту точку.
Если стержень однородный, то есть равные по длине участки стержня
имеют равные массы, то плотность будет одинаковой во всех точках, и будет
равна средней плотности этого стержня.
У неоднородного стержня плотность меняется
от точки к точке. Пусть
стержень лежит на числовой оси, а его левый конец расположен в начале от-
счета. Обозначим через
()
x
ρ
функцию, определяющую плотность стержня в
точке х (см. рис.1).
Будем считать, что функция
(
)
x
ρ
непрерывна.
Задача. Зная длину стержня
l и его плотность
()
x
ρ
для любого x,
[]
l;0∈x , найти его массу m.
Решение. Если стержень однородный, то есть
()
constx
ср
==
ρ
ρ
, то
l
⋅
=
ср
m
ρ
.
Пусть стержень неоднородный, тогда
(
)
constx
≠
ρ
.
Выполним следующие действия:
x
ℓ
Рис.1
0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- …
- следующая ›
- последняя »
