Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 242 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

238
Задача. Зная значения a и b и функцию
(
)
tv , найти путь S, пройденный
точкой М.
Решение. Если бы точка М двигалась равномерно, то есть
()
consttvv == , то
(
)
abvs
−
⋅
=
.
Однако по условию скорость является непрерывной функцией времени
()
tvv = .
Выполним следующие действия:
1) Разобьем весь промежуток времени
[
]
ba;
на частичные промежутки точ-
ками
()
nkt
k
,,2,1,0 K= :
btttta
n
=
<
<
<
<
=
K
210
.
Обозначим
()
nktt
kk
,,1,max
1
K
=
−=
−
λ
.
2) За малый промежуток времени
[
]
kk
tt ;
1−
скорость
(
)
tv
не успевает заметно
измениться. Будем считать, что за этот промежуток времени происходит
равномерное движение со скоростью
(
)
k
v
τ
, где
k
τ
- произвольным образом
выбранная толчка из промежутка
[
]
kk
tt ;
1−
.
3) Тогда путь
k
S , пройденный точкой М за промежуток времени
[]
kk
tt ;
1−
, бу-
дет приближенно равен
(
)
(
)
1−
−
≈
kkkk
ttvS
τ
.
Следовательно, путь S, пройденный за время от t=a до t=b, равен
()( )
1
11
−
==
−≈=
∑∑
kk
n
k
k
n
k
k
ttvSS
τ
.
Это равенство тем точнее, чем меньше
λ
. Устремляя
λ
к нулю (а тогда
∞→n ), в пределе получим
()( )
∑
=
−
∞→
→
−=
n
k
kkk
n
ttvS
1
1
)(
0
lim
τ
λ
.

Страницы