Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 243 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

239
§ 2. Определение и геометрическая интерпретация
определенного интеграла
Определение. Пусть на отрезке
[
]
ba; задана функция
()
xf . Выполним
следующие действия:
1) Разобьем отрезок
[]
ba; на n частей точками
bxxxxa
n
=
<
<
<
<
=
K
210
.
Обозначим
()
nkxx
kk
k
,,1,max
1
K
=
−=
−
λ
,
λ
– ранг разбиения.
2) В каждом из частичных отрезков
[
]
kk
xx ;
1−
произвольным образом выберем
точку
k
ξ
и вычислим nkff
k
,,1),( K
=
=
ξ
.
3) Составим произведения
()
kk
xf ∆
ξ
, где nkxxx
kkk
,,1,
1
K
=
−
=
∆
−
.
4) Вычислим сумму
()
k
n
k
kn
xf ∆=
∑
=1
ξσ
.
Эту сумму называют интегральной суммой для функции
(
)
xf
по от-
резку
[]
ba; .
5) Увеличивая неограниченно n, будем измельчать дробление так, чтобы
0→
λ
. Получится последовательность интегральных сумм
{}
n
σ
. Найдем
n
n
σ
λ
)(
0
lim
∞→
→
.
Если существует конечный предел интегральных сумм, не зависящий ни от
способа дробления отрезка ни от выбора точек
k
ξ
, то он называется опреде-
ленным интегралом от функции
(
)
xf на отрезке
[
]
ba; и обозначается
()
∫
b
a
dxxf
.
Таким образом, по определению имеем
()
()
()
k
n
k
k
n
b
a
xfdxxf ∆=
∑
∫
=
∞→
→
1
0
lim
ξ
λ
. (3)

Страницы