Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 244 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

240
Переменная х называется переменной интегрирования, a и b – соответст-
венно нижним и верхним пределами интегрирования. Функция, для кото-
рой существует
()
∫
b
a
dxxf
, называется интегрируемой на отрезке
[]
ba; .
Рассмотрим вопрос о том, какие функции являются интегрируемыми?
Ответом служат две теоремы.
Теорема 1. Если функция
(
)
xf непрерывна на отрезке
[]
ba; , то она ин-
тегрируема на нем.
Теорема 2. Если функция
(
)
xf кусочно-непрерывна
1
на отрезке
[
]
ba; ,
то она интегрируема на этом отрезке.
Таким образом, возвращаясь к рассмотренным выше задачам, получа-
ем:
– масса неоднородного стержня длины
l вычисляется по формуле
()
∫
=
l
0
dxxm
ρ
,
где
()
x
ρ
- функция плотности;
– путь, пройденный неравномерно двигающейся точкой за время от t=a до
t=b, вычисляется по формуле
()
∫
=
b
a
dttvS
,
где
()
tv - функция скорости.
Геометрическая интерпретация определенного интеграла
Пусть на отрезке
[]
ba; задана непрерывная неотрицательная функция
()
xf (
()
0≥xf на
[]
ba; ).
Плоская фигура, ограниченная прямыми x=a и x=b, осью Ox и графи-
ком функции
()
xfy
=
, называется криволинейной трапецией (см. рис. 3).
1
Функция
()
xf называется кусочно-непрерывной на отрезке
[
]
ba; , если она непрерывна во всех точках
отрезка, за исключением конечного числа точек разрыва I-го рода.

Страницы