Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 241 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

237
1) Разобьем стержень на n частей точками
()
lKK
=
<
<
<
<
==
nk
xxxxnkx
210
0:,,2,1,0 (см. рис. 2).
Обозначим
()
nkxx
kk
,,1,max
1
K
=
−=
−
λ
. Величина
λ
есть наибольшая из длин
частичных отрезков, называемая рангом разбиения. Если
λ
мало, то на ка-
ждом из отрезков
[]
nkxx
kk
,,1,;
1
K
=
−
, плотность
(
)
x
ρ
не успевает заметно
измениться (в силу предположения о непрерывности
()
x
ρ
), поэтому можно
считать (приближенно) частичные отрезки однородными.
2) Выберем на каждом из отрезков
[
]
nkxx
kk
,,1,;
1
K
=
−
, произвольную точку
k
ξ
, то есть
[
]
nkxx
kkk
,,1,;
1
K
=
∈
−
ξ
, и положим, что на отрезке
[]
kk
xx ;
1−
плот-
ность постоянная и равна
nk
k
,,1),( K
=
=
ξ
ρ
ρ
.
3) Массу k-го отрезка
k
m вычислим приближенно
(
)
(
)
nkxxm
kkkk
,,1,
1
K
=
−
≈
−
ξ
ρ
.
4) Тогда масса всего стержня приближенно равна
()( )
1
11
−
==
−≈=
∑∑
kk
n
k
k
n
k
k
xxmm
ξρ
. (1)
Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше значение
λ
. Будем
производить разбиение стержня на части таким образом, чтобы
λ
стремилось
к нулю (тогда
∞→n !). Этим разбиениям будет соответствовать последова-
тельность сумм (1). Тогда
()( )
∑
=
−
∞→
→
−=
n
k
kkk
n
xxm
1
1
)(
0
lim
ξρ
λ
. (2)
2. Задача о пройденном пути
Пусть точка М движется по прямой в течение времени от t=a до t=b и
пусть скорость движения в момент времени t есть
(
)
tvv
=
. Предположим так-
же, что функция
()
tv непрерывна на
[
]
ba; .
x
0
=0 x
1
Рис.2
x
2
x
k
x
k
1
x
n
=ℓ x
n
1
ξ
n
ξ
k
ξ
2
ξ
1
…
…

Страницы