Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 250 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

246
Пример 3.
а)
22
0
x
x
t
edtе
−−
=
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∫
(здесь
()
∫
−
=Φ
x
t
dtex
0
2
);
б)
5
2
5
coscos zdxx
z
=
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∫
(здесь
()
dxxz
z
∫
=Φ
2
5
cos );
в)
0
1
0
=
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∫
xdxarctg (здесь
∫
=
1
0
constxdxarctg ).
Равенство (4) означает, что функция
(
)
x
Φ
является первообразной для
функции
()
xf .
§ 5. Вычисление определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция
()
xf задана и непрерывна на отрезке
[]
ba; . Рассмотрим
функцию
() ()
∫
=Φ
x
a
dttfx . Ясно что
() ()
∫
=Φ
b
a
dxxfb . Так как
() ()
xfx =Φ
′
, то
(
)
x
Φ
есть одна из первообразных для
(
)
xf . Семейство всех первообразных опре-
деляется формулой
()
(
)
СxFdxxf +=
∫
, где
(
)
xF - одна из первообразных для
функции
()
xf .
Первообразная
()
xΦ входит в это семейство при каком-то значении
0
C
произвольной постоянной С:
(
)
(
)
0
CxFx
+
=
Φ
. Найдем его. Положив х=а, по-
лучим
()
(
)
0
CaFa +=Φ ; но
(
)
0
=
Φ
a
. Следовательно,
()
0
0 CaF += , отсюда
()
aFC −=
0
.
Значит,
(
)()
(
)
aFxFx −=Φ
и
(
)
(
)
(
)
aFbFb
−
=
Φ
. Так как
() () ()
∫∫
==Φ
b
a
b
a
dxxfdttfb
, то получена формула
() () ()
∫
−=
b
a
aFbFdxxf .
Эта формула носит название формулы Ньютона-Лейбница.

Страницы