Составители:
Рубрика:
248
Пример 5. Вычислить
()
∫
+
e
xx
dx
1
2
ln1
.
Решение. Введем новую переменную
xz ln
=
. Если x меняется от 1 до
е, то z меняется от 0 до 1. Отсюда
()
()
4
01
1ln1
ln
ln1
1
0
1
0
2
1
2
1
2
π
=−==
+
=
+
=
+
∫∫∫
arctgarctgarctgz
z
dz
x
xd
xx
dx
ee
.
Пример 6. Вычислить
∫
−
R
dxxR
0
22
.
Решение. Положим
tRx sin
=
. Изменению переменной х от 0 до R со-
ответствует изменение переменной t от 0 до
2
π
. На отрезке
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
;0
π
функция
tRx sin= непрерывна, монотонна и имеет непрерывную производную.
Получаем
∫∫∫
==−=−
2
0
2
2
0
222
0
22
coscossin
π
π
tdtRtdttRRdxxR
R
()
4
2sin
2
1
2
2cos1
2
2
2
0
2
0
R
tt
R
dtt
R
π
π
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+=
∫
.
Заметим, что выше этот интеграл был вычислен исходя из его геомет-
рического смысла.
Справедливы следующие полезные формулы:
1. Если
()
xf - нечетная функция, то
()
∫
−
=
a
a
dxxf 0
.
2. Если
()
xf - четная функция, то
() ()
∫∫
−
=
a
a
a
dxxfdxxf
0
2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 250
- 251
- 252
- 253
- 254
- …
- следующая ›
- последняя »
