Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 253 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

249
3. Если
()
xf - периодическая функция с периодом Т, то для любого числа а
справедливо равенство
() ()
∫∫
+
=
Ta
a
T
dxxfdxxf
0
.
2. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Пусть функции
()
xu и
(
)
xv заданы на отрезке
[
]
ba; и имеют на нем не-
прерывные производные
(
)
xu
′
и
(
)
xv
′
.
Тогда справедлива формула
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
. (5)
Это и есть формула интегрирования по частям для определенного инте-
грала. Все сказанное ранее по поводу применения формулы интегрирования
по частям в неопределенном интеграле, относится также и к формуле (5).
Пример 7. Вычислить
∫
2
0
2
dxxe
x
.
Решение. Положим
dxedvxu
x2
, == . Тогда
x
evdxdu
2
2
1
,
== . Приме-
няя формулу (5), имеем
4
1
4
3
4
1
44
1
2
1
2
1
44
4
2
0
24
2
0
2
2
0
2
2
0
2
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=−=−=
∫∫
ee
eeedxexedxxe
xxxx
.
Пример 8. Вычислить
∫
e
xdxx
1
ln .
Решение. Пусть
xdxdvxu
=
=
,ln . Тогда
2
,
1
2
x
vdx
x
du ==
. Получаем
()
4
1
1
4
1
24
1
22
1
ln
2
ln
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1
+
=−−=−=−=
∫∫
e
e
e
x
e
xdxx
x
xdxx
e
e
e
e
.

Страницы