Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 251 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

247
Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции,
надо получить для нее первообразную и найти разность значений этой пер-
вообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Замечание 2. Разность
(
)
(
)
aFbF
−
принято обозначать
()
a
b
xF , поэтому
формулу Ньютона-Лейбница можно записать
() () () ()
∫
−==
b
a
b
a
aFbFxFdxxf
.
Пример 4.
а)
4
3
3
4
1
4
4
1
4
2
4
44
2
1
4
2
1
3
=−=−==
∫
x
dxx
.
б)
4
0
4
01
1
1
0
1
0
2
ππ
=−=−==
+
∫
arctgarctgarctgx
x
dx
.
в)
2
1
2
1
1
6
sin
2
sinsincos
2
6
2
6
=−=−==
∫
ππ
π
π
π
π
xxdx
.
§6. Замена переменной и интегрирование по частям
в определенном интеграле
1. Метод замены переменной (подстановки)
Пусть функция
()
xf
непрерывна на отрезке
[
]
ba;
и пусть
1) функция
()
tx
ϕ
=
монотонна, непрерывна и имеет непрерывную производ-
ную, когда t меняется от
α
до
β
;
2)
()
α
ϕ
=a
и
()
β
ϕ
=b
;
тогда имеет место следующее правило замены переменной в определенном
интеграле:
() ()()()
dtttfdxxf
b
a
ϕϕ
β
α
′
=
∫∫
.
Сравнивая последнюю формулу с формулой 8 (§4, глава III), делаем за-
ключение, что подстановка в определенном интеграле производится так же,
как в неопределенном интеграле, с тем отличием, что в определенном инте-
грале изменяются и пределы интегрирования.

Страницы