Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 256 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

252
где t изменяется от
α
до
β
,
(
)
(
)
ba
=
=
β
ψ
α
ϕ
, (см. рис. 12).
Если уравнения (10) определяют некоторую функцию
()
xf , заданную на от-
резке
[]
ba; , то площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по
формуле (6):
()
∫∫
==
b
a
b
a
ydxdxxfS
.
Сделаем замену переменной:
(
)
(
)
(
)()()
(
)
.,, ttfxfydttdxtx
ψ
==
=
′
=
=
Получим
() ()
∫
′
=
β
α
ϕψ
dtttS
. (11)
Рассмотрим примеры вычисления площадей.
Пример 9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
3,2,0
2
=−== xxxyy .
Решение. Построим сначала фигуру, площадь которой требуется
найти. Кривая
2
2 xxy −= является параболой с вершиной (1;1). Данная пара-
бола пересекает ось Ох в точках х=0 и х=2. Искомая фигура изображена на
рис. 13.
Следовательно,
y
x0 a
Рис. 12
b
t=
α
t
=
β
y
x0
1
Рис. 13
23
-3
1
2
2 xxy −=

Страницы