Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 261 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

257
Пример 14. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу
фигуры, ограниченной координатными осями и кривой
2
0,cos
π
≤≤= xxy
(см. рис. 22).
Решение. На отрезке
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
;0
π
функция
x
y cos
=
обращается как
y
x
arccos= . Тогда
()
∫
=
1
0
2
arccos dyyV
π
.
Для вычисления полученного интеграла применим формулу интегри-
рования по частям, полагая
(
)
dydvyu == ,arccos
2
. Тогда
dy
y
yduyv
2
1
1
arccos2;
−
⋅−==
. Имеем
()()
∫∫∫
−
⋅=
−
⋅+==
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
arccos2
1
arccos2arccosarccos dy
y
y
ydy
y
y
yyydyyV
π
.
В последнем интеграле вновь применим формулу интегрирования по
частям, полагая
dy
y
y
dvyu
2
1
,arccos
−
==
. Тогда
2
2
1,
1
1
yvdy
y
du −−=
−
−= .
Получаем
22
2
22arccos12
1
arccos2
1
0
1
0
1
0
2
2
−=−⋅=−−−=
−
⋅=
∫∫
π
π
dyyydy
y
y
yV .
4. Вычисление длины дуги кривой
a) Пусть кривая задана на плоскости в прямоугольных координатах уравне-
нием
()
xfy =
и пусть на отрезке
[
]
ba;
функция
(
)
xf
и ее производная не-
прерывны. Тогда длина дуги АВ этой кривой, где
()
(
)
(
)()
bfbBafaA ;,;
(см.
рис. 23) вычисляется по формуле
y
0
–π/2
Рис. 22
x
π
/2

Страницы