Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 263 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

259
Сделаем замену переменной: xt
4
9
1+= . Тогда dtdx
9
4
= и при изменении
х от 0 до 4 переменная t изменяется от 1 до 10.
Следовательно,
()
11010
27
8
27
8
9
4
10
1
10
1
2
3
−==⋅=
∫
tdttl .
Пример 16. Вычислить длину одной арки циклоиды
(
)
()
π
20
,cos1
,sin
≤≤
⎩
⎨
⎧
−=
−=
t
tay
ttax
.
Решение. Применяя формулу (17), имеем
()
∫∫∫
=−==−=+−=
π
π
ππ
2
0
2
0
2
0
2
0
22
2
2
.8
2
cos4
2
sin2cos22sincos1 a
t
adt
t
adttadttatal
Пример 17. Вычислить длину кардиоиды
(
)
ϕ
ρ
cos12
+
=
a
(см. рис. 17).
Решение. По формуле (18) получаем
()
adadadaa 16
2
cos8cos224sin4cos142
000
22
2
2
==+=++=
∫∫∫
πππ
ϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕ
l
.
Замечание 4. Если пространственная кривая АВ задана параметриче-
скими уравнениями
(
)
(
)
(
)
tztytx
λ
ψ
ϕ
,, ,
где
β
α
≤≤ t , а
(
)()
(
)
ttt
λ
ψ
ϕ
,, - непрерывно дифференцируемые функции, то
длина этой кривой вычисляется по формуле
() () ()
∫
′
+
′
+
′
=
β
α
λψϕ
dtttt
222
l
. (19)
5. Вычисление площади поверхности вращения
Рассмотрим поверхность, образованную вращением кривой
()
bxaxfy ≤≤= , , вокруг оси Ох (см. рис. 25).
y
x0 ab
y=f(x)
Рис. 25

Страницы