Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 264 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

260
Предположим, что на отрезке
[
]
ba; функция
(
)
xf неотрицательна и не-
прерывно дифференцируема.
Площадь указанной поверхности вращения вычисляется по формуле
() ()
∫
′
+=
b
a
dxxfxfQ
2
12
π
. (20)
Пример 18. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси Ох дуги параболы
xy 4
2
= , соответствующей изменению x от 0 до 2.
Решение. Имеем
x
yxy
1
,2 =
′
= . Тогда по формуле (20) получим
()
∫∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=⋅+=+=+=
2
0
2
0
2
3
2
0
2
3
13
3
8
3
2
1414
1
122
π
πππ
xdxxdx
x
xQ .
6. Вычисление массы неоднородного стержня
Если плотность неоднородного стержня задается непрерывной функци-
ей
()
x
ρ
ρ
= , то, как было показано выше (см. §1, 2), его масса вычисляется по
формуле
()
∫
=
l
0
dxxm
ρ
, (21)
где
l - длина стержня.
7. Вычисление пути, пройденного неравномерно движущейся матери-
альной точкой за время от
1
tt
=
до
2
tt =
Если
(
)
tvv =
- функция, задающая скорость материальной точки, причем
()
tv
непрерывна на отрезке
[
]
21
; tt
, то путь, пройденный точкой, вычисляется
по формуле
()
∫
=
2
1
t
t
dttvS . (22)
8. Вычисление работы
Пусть под действием некоторой силы F материальная точка движется
по прямой Ох, причем направление силы совпадает с направлением движе-
ния. Предположим, что абсолютная величина силы представляет собой не-
прерывную функцию
(
)
xFF = .

Страницы