Составители:
Рубрика:
258
()()
∫
′
+=
b
a
dxxf
2
1l
. (16)
б) Если уравнение кривой задано в параметрической форме:
(
)
()
⎩
⎨
⎧
=
=
,
,
ty
tx
ψ
ϕ
причем для дуги АВ:
β
α
≤≤ t , а
(
)
t
ϕ
и
(
)
t
ψ
- непрерывно дифференцируемы на
отрезке
[]
β
α
; , то длина дуги вычисляется по формуле
()() ()()
∫
′
+
′
=
β
α
ψϕ
dttt
22
l
. (17)
в) Если кривая задана в полярных координатах:
()
ϕ
ρ
ρ
= , причем для
дуги АВ:
21
ϕ
ϕ
ϕ
≤
≤ , а функция
(
)
ϕ
ρ
непрерывно дифференцируема, то длина
дуги АВ выражается формулой
()() ()()
∫
+
′
=
2
1
22
ϕ
ϕ
ϕϕρϕρ
dl . (18)
Пример 15. Найти длину дуги полукубической параболы
32
xy = от точ-
ки (0;0) до точки (4;8).
Решение. Полукубическая парабола
32
xy = симметрична относи-
тельно оси Ох (см. рис. 24).
Точки (0;0) и (4;8) лежат на верхней ветви
параболы, которая описывается уравнением
2
3
xy = .
Тогда
2
1
2
3
xy =
′
, и по формуле (16) получаем
∫
+=
4
0
4
9
1
dxxl
.
y
x
0
a b
y=f(x)
Рис. 23
A
B
y
x0
4
y=x
3/2
Рис. 24
8
–8
y=–x
3/2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 260
- 261
- 262
- 263
- 264
- …
- следующая ›
- последняя »
