Составители:
Рубрика:
268
§2. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям
1. Размножение бактерий
Опытным путем установлено, что при определенных условиях скорость
размножения бактерий пропорциональна их количеству. Так как сами бакте-
рии очень малы, а их количество велико, то можно считать, что масса бакте-
рий с течением времени меняется непрерывно. Скорость прироста массы
бактерий называется
скоростью размножения.
Обозначим через
(
)
txx = массу всех бактерий в момент времени t, тогда
dt
dx
будет скоростью размножения этих бактерий. Так как скорость размно-
жения пропорциональна количеству бактерий, то существует постоянная
0>k такая, что
kx
dt
dx
= . (1)
По условию х и
dt
dx
неотрицательные, поэтому коэффициент k тоже не-
отрицательный, при
0=k задача не имеет смысла, так как никакого размно-
жения не происходит.
Уравнение (1) называется дифференциальным уравнением размноже-
ния и является простейшим примером дифференциального уравнения.
Легко проверить, что любая функция вида
kt
Cex = , (2)
где С – некоторая постоянная является решением уравнения (1). Действи-
тельно:
()
(
)
kxCekCkee
dt
d
CCe
dt
d
dt
dx
ktktktkt
===== .
Можно доказать, что все решения уравнения (1) задаются формулой
(2), поэтому функция (2) является общим решением уравнения (1).
Если мы знаем значение коэффициента k, который зависит от вида бак-
терий и от внешних условий, и массу
0
m бактерий в некоторый момент вре-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 270
- 271
- 272
- 273
- 274
- …
- следующая ›
- последняя »
