Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 277 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

273
Заметим, что общее решение (2), как решение дифференциального
уравнения второго порядка, содержит две произвольные постоянные: ампли-
туду А и начальную фазу
α
, для определения которых (для решения задачи
Коши) нужно задать начальные условия вида:
(
)
(
)
0000
, vtxxtx
=
′
=
.
§3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разде-
ленными и разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
(
)
0,,
=
′
yyxF . (1)
Если это уравнение разрешено относительно
y
′
, то это уравнение имеет
вид:
(
)
yxfy ,=
′
или
(
)
dxyxfdy ,
=
Общим решением уравнения (1) будет функция
()
Cxyy ,= , зависящая от
х и от одной произвольной постоянной, и обращающая это уравнение в тож-
дество. Общий интеграл (общее решение, заданное в неявном виде) для
уравнения (1) :
()
0,, =
Φ
Cyx .
Частным решением уравнения (1) будет решение
()
0
,Cxyy = , получен-
ное из общего при фиксированном значении С. Частный интеграл (частное
решение), заданный в неявном виде для уравнения (1):
()
0,,
0
=
Φ
Cyx
Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
формулируется следующим образом:
Найти частное решение дифференциального уравнения (1), удовлетво-
ряющее заданным начальным условиям:
0
yy
=
при
0
xx
=
.
Другими словами: найти интегральную кривую уравнения (1), прохо-
дящую через заданную точку
(
)
000
, yxM .
О решении задачи Коши говорит следующая теорема (без доказатель-
ства):

Страницы