Составители:
Рубрика:
275
где Р(х) – заданная функция, зависящая только от х, Q(x) – заданная функция,
зависящая только от у, называется дифференциальным уравнением с разде-
ленными переменными. Заметим, что в частном случае Р(х) и Q(x) могут
быть постоянными величинами.
Например, уравнения
(
)
01
2
=++ dyedxx
y
,
05
3
=+ dydxx
являются уравнениями с разделенными переменными, а уравнение
(
)
0
=
+
−
dyyxxdx
не является таковым.
Общим интегралом дифференциального уравнения (4) будет
(
)
(
)
∫
∫
=+ CdyyQdxxP , (5)
где С – произвольная постоянная, причем формула (5) содержит все решения
уравнения (4).
Пример 2. Найти частное решение уравнения
0=+ ydyxdx , удовлетво-
ряющее начальным условиям
3
0
=
y при 4
0
=
x .
Решение. Это дифференциальное уравнение является уравнением с
разделенными переменными, поэтому воспользуемся формулой (5)
∫
∫
=+ Cydyxdx ,
интегрируя, получим:
C
yx
=+
22
22
или
Cyx 2
22
=+ .
Полагая,
2
2 RC = (что можно сделать, так как 0
22
≥+ yx ), общий инте-
грал запишем в виде
222
Ryx =+ . (6)
Геометрически общий интеграл представляет собой семейство концен-
трических окружностей радиусов R с центром в начале координат (см. рис 2).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 277
- 278
- 279
- 280
- 281
- …
- следующая ›
- последняя »
