Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 280 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

276
Теперь найдем частный интеграл, то есть найдем окружность, прохо-
дящую через точку М(4; 3).
Подставляя координаты точки М в уравнение (6), находим
222
34 R=+ или 25
2
=R
Подставим значение
2
R
в общий интеграл (6), получим искомую ок-
ружность:
25
22
=+ yx .
Определение 2. Дифференциальное уравнение вида
(
)
(
)
(
)
(
)
0
2211
=
+
dyyQxPdxyQxP , (5)
где
() ()
xPxP
21
, – функции только от х, а
(
)
(
)
yQyQ
21
, – функции только от у,
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Уравнение (5) делением обеих частей уравнения на произведение
() ()
xPyQ
21
может быть приведено к уравнению с разделенными переменными:
(
)
(
)
() ()
(
)
(
)
() ()
0
21
22
21
11
=+ dy
xPyQ
yQxP
dx
xPyQ
yQxP
(
)
()
(
)
()
0
1
2
2
1
=+ dy
yQ
yQ
dx
xP
xP
(6)
Общим интегралом уравнения (6), а, следовательно, и (5) будет:
(
)
()
(
)
()
∫∫
=+ Сdy
yQ
yQ
dx
xP
xP
1
2
2
1
.
Замечание. При делении на произведение
(
)
(
)
xPyQ
21
можно потерять те
решения уравнения (5), которые обращают это произведение в ноль. Если
()
0
2
=aP (или
(
)
0
1
=bQ ), то функция
a
x
=
( by
=
) также будет решением этого
уравнения. Геометрически решения
a
x
=
и by
=
, если они имеются, пред-
y
x
0
c=1
M(4,3)
Рис 2
12345
c=2
c=3
c=4
c=5

Страницы