Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 278 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

274
Если в уравнении
(
)
yxfy ,
=
′
функция
(
)
yxf , и ее частная производная
y
f
∂
∂
непрерывны в некоторой области D на плоскости Оху, содержащей неко-
торую точку
(
)
00
, yxM , то существует единственное решение этого уравне-
ния
()
xyy = , удовлетворяющее условию
0
yy
=
при
0
xx
=
.
Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: существует
и при том единственная функция
(
)
xyy
=
, график которой проходит через
точку с координатами
0
x и
0
y .
Пример 1. Дано дифференциальное уравнение первого порядка:
x
y
y −=
′
(2)
Общим решением этого уравнения будет:
x
C
y = (3)
(можно проверить подстановкой). Найдем частное решение этого уравнения,
удовлетворяющее следующим начальным условиям:
1
0
=y при 2
0
=x . (4)
Подставим (4) в (3), получим
2
1
С
= , отсюда 2
=
С , тогда частное реше-
ние примет вид
x
y
2
= .
Геометрически это означает, что найдена единственная интегральная
кривая из семейства интегральных кривых, проходящая через заданную точ-
ку
()
1;2М
(см. рис 1).
Определение 1. Дифференциальное уравнение вида
(
)
(
)
0
=
+
dyyQdxxP , (4)
y
x0
c=1
M(2,1)
Рис 1
c=2
c=
–
2
c=
–
1

Страницы