Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 286 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

282
Следовательно,
(
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
x
y
x
yxf
n
ϕ
,
,
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
x
y
xyxf
n
ϕ
,
,
пришли к равенству (2).
Определение 2. Однородным дифференциальным уравнением первого
порядка называется уравнение вида:
(
)
(
)
0,,
=
+
dyyxQdxyxP , (3)
где
()
yxP , и
()
yxQ , - однородные функции одного и того же измерения.
Уравнение (3) можно привести к виду
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
′
x
y
gy
, (4)
где функция
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
x
y
g
зависит только от отношения
x
y
.
Действительно, так как
(
)
yxP ,
и
(
)
yxQ ,
однородные функции одного и
того же измерения, то в силу равенства (2) можно записать:
0
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
dy
x
y
xdx
x
y
x
nn
ϕϕ
.
Полагая, что
0≠
n
x , делим обе части равенства на
n
x , и в результате не
сложных преобразований получаем:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
x
y
x
y
dx
dy
1
ϕ
ϕ
или
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
′
x
y
gy
.
Решение однородного дифференциального уравнения проводится пу-
тем введения новой переменной
x
y
z =
, что позволяет свести это уравнение к
уравнению с разделяющимися переменными.
Действительно, так как
zxy
=
, то zxzy
+
′
=
′
, ( 1
=
′
x ), поэтому уравнение
(3) будет иметь вид:
(
)
zgzxz
=
+
′
,

Страницы