Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

35
Функция
()
xf ограниченная на множестве
X
является ограниченной
снизу и сверху на этом множестве:
(
)
KxfK
≤
≤
−
для всех Xx ∈ .
Например:
а) функция
2
4 xy −= на отрезке
[
]
2;2
−
ограничена сверху числом 2 и
снизу числом
0
(
)
240
2
≤−≤ x ;
б) функция
xy sin= ограничена числом 1 на множестве
()
∞
+
∞− ;
так
как
1sin ≤x
для любого
(
)
;,
∞
+
∞
−
∈x
в) функция
2
xy = на промежутке
(
)
∞
+
∞
−
; является неограниченной,
так как какое бы положительное сколь угодно большое число
M
ни взять,
найдется такое значение
0
x , что будет выполняться неравенство .
2
0
Mx >
График функции
(
)
xfy = , ограниченной сверху числом
B
, расположен
не выше прямой
By = ; график функции, ограниченной снизу числом A , рас-
положен не ниже прямой
Ay
=
.
График функции
(
)
xfy =
, ограниченной числом
расположен между
прямыми
KyKy =−= , , то есть в горизонтальной полосе KyK ≤≤
−
(см. рис. 14).
Рис. 14
x
y
0
y=2
2
x4y −=
–
2
–
1
2
2
2
π
−
2
π
x
y
0
y=sin x
1
–
π
π
2
π
5) Непрерывность. Функция называется непрерывной на промежутке,
если при плавном, без скачков, изменении аргумента значения функции ме-
няются также плавно. В противном случае функция называется разрывной, а
значение аргумента, при котором нарушается непрерывность изменения зна-
чений функции, называют точкой разрыва функции.

Страницы