Составители:
Рубрика:
76
Определение 20. Числовой ряд (12) называется сходящимся, если по-
следовательность его частичных сумм (13) сходится:
SS
n
n
=
∞→
lim , где S - число.
Число
S называют суммой ряда (12). Если предел
n
n
S
∞→
lim не существует или
бесконечен, то ряд (12) называют
расходящимся.
Пример 22. Выяснить сходится или расходится ряд
()
LL +
+
++
⋅
+
⋅
+
⋅ 1
1
43
1
32
1
21
1
nn
.
Решение: Составим частичную сумму
n
S данного ряда
()
1
1
43
1
32
1
21
1
+
++
⋅
+
⋅
+
⋅
=
nn
S
n
L .
Учитывая, что
()
Nn
nnnn
∈
+
−=
+
,
1
11
1
1
, имеем
1
1
1
1
11
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
+
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
nnn
S
n
L .
Отсюда,
1
1
1
1limlim =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−=
∞→∞→
n
S
n
n
n
. Так как последовательность частичных сумм
{}
n
S данного ряда сходится, то ряд сходится и имеет сумму 1=S .
Пример 23. Выяснить сходится или расходится ряд
()
∑
∞
=
+
−
1
1
1
n
n
.
Решение. Данный ряд имеет вид
() ()
∑
∞
=
++
+−++−+−=−
1
11
111111
n
nn
LL .
Его частичные суммы равны:
K,0,1,0,1
4321
=
=
=
=
SSSS
Ясно, что
⎩
⎨
⎧
=
чётнoenесли
нечётнoenесли
S
n
0
,,1
.
Последовательность частичных сумм
{
}
n
S данного ряда K,0,1,0,1 не имеет
предела (см. пример 18). Следовательно, ряд является расходящимся.
Пример 24. Показать, что ряд
∑
∞
=
1n
n расходится.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- …
- следующая ›
- последняя »
