Составители:
Рубрика:
77
Решение. Ряд
∑
∞
=
+++++=
1
321
n
nn LL есть сумма всех натуральных
чисел. Ясно, что
∞=
n
Slim . Действительно,
()
2
1
21
+
=+++=
nn
nS
n
K , здесь
n
S -
сумма
n правых членов арифметической последовательности.
()
∞=
+
=
∞→∞→
2
1
limlim
nn
S
n
n
n
, а это означает, что данный ряд расходится.
Пример 25. Исследовать на сходимость ряд
∑
∞
=
−
1
1
n
n
aq (14)
Решение. Ряд
KK +++++=
−
∞
=
−
∑
12
1
1 n
n
n
aqaqaqaaq называют рядом гео-
метрической прогрессии, где
a - первый её член, q - знаменатель. Параметры
ряда (14)
a и
q
могут иметь различные значения.
Если
0=a , то ряд (14) имеет вид KK
+
+
+
+
000 , 0000
=
+
++=
4434421
K
n
n
S и
00limlim ==
∞→∞→ n
n
n
S . Ряд (14) сходится и его сумма 0
=
S .
Если
0=q , то ряд (14) имеет вид
KK
+
+
+
+
+
000a
, aaS
n
n
=
+
+
+=
−
4434421
K
1
00
и
aaS
n
n
n
==
∞→∞→
limlim
. Ряд (14) сходится и его сумма aS
=
.
Будем считать, что
0
≠
a и
0
≠
q
.
Если
1=q , то ряд (14) имеет вид KK
+
+
+
+
aaa , anaaaS
n
n
=
+
++=
4434421
K
и
∞==
∞→∞→
anS
n
n
n
limlim . Ряд (14) расходится.
Если
1
−
=q , то ряд (14) имеет вид
()
KK +−++−+−
−
aaaaa
n 1
1 и
()
⎩
⎨
⎧
=−++−+−=
−
чётноеnесли
нечётноеnеслиa
aaaaaS
n
n
,0
,,
1
1
K .
n
n
S
∞→
lim не существует. Ряд
(14) расходится.
Рассмотрим теперь вопрос сходимости ряда (14) при
0≠a и 0
≠
q ,
1±≠q . В этом случае частичная сумма
n
S ряда (14) имеет вид
(
)
q
qa
aqaqaqaS
n
n
n
−
−
=++++=
−
1
1
12
K .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- …
- следующая ›
- последняя »
