Составители:
Рубрика:
79
7) Если оба ряда
∑
∞
=
1n
n
a и
∑
∞
=
1n
n
b расходятся, то ряды
()
∑
∞
=
±
1n
nn
ba могут ока-
заться как сходящимися, так и расходящимися.
Исследовать ряды на сходимость (расходимость), вычисляя частичные
суммы и их пределы, как правило, затруднительно, поэтому используют не-
которые признаки, по которым можно делать выводы о сходимости или рас-
ходимости рассматриваемого ряда. Приведем некоторые из них:
1)
Необходимый признак сходимости ряда: если ряд
∑
∞
=
1n
n
a сходится,
то его общий член
n
a стремится к нулю при
∞
→n .
Следствие. Если
n
a не стремится к нулю при ∞→n , то ряд расходится.
Однако из того, что общий член ряда стремится к нулю при
∞
→n , ещё
не следует сходимость ряда.
Например, общий член гармонического ряда
∑
∞
=
+++++=
1
1
3
1
2
1
1
1
n
nn
LL
n
a
n
1
=
стремится к нулю при
∞
→n , но ряд расходится.
Замечание. Гармонический ряд есть частный случай так называемых
обобщенно гармонических рядов
,
1
1
∑
∞
=n
p
n
, где
p
- число, которые при 1>p схо-
дятся, при
1≤p расходятся.
2)
Необходимый признак сходимости ряда.
Если ряд сходится, то последовательность его частичных сумм
{
}
n
S ог-
раничена.
Следствие. Если последовательность частичных сумм
{}
n
S ряда неог-
раниченна, то ряд расходится.
Однако из ограниченности последовательности
{
}
n
S не следует сходи-
мость ряда. Например, ряд геометрической прогрессии (14) при
1
−
=q расхо-
дится, хотя и имеет ограниченную последовательность частичных сумм
aS
n
≤ (см. пример 25).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- …
- следующая ›
- последняя »
