Составители:
Рубрика:
81
Приведенный признак (теорема 13) является лишь достаточным, по-
этому, если абсолютный ряд расходится, то вопрос о сходимости или рас-
ходимости знакопеременного ряда остаётся открытым, в этом случае тре-
буется дополнительные исследования.
6) Необходимый и достаточный признак сходимости знакочере-
дующегося ряда (признак Лейбница) [Лейбниц Готфрид Виль-
гельм (01. 07. 1646 – 14. 11. 1716) - немецкий математик].
Ряд называется знакочередующимся, если
каждые два соседних чле-
на ряда имеют значения различных знаков.
Теорема 14 (признак Лейбница – признак сходимости знакочере-
дующегося ряда).
Если общий член знакочередующегося ряда стремится к нулю при
∞→n и его абсолютная величина убывает, то ряд сходится.
Следствие. Если ряд
∑
∞
=1n
n
a удовлетворяет условиям теоремы Лейб-
ница, то абсолютная величина остатка ряда
n
r меньше абсолютной величи-
ны его первого члена:
1+
<−=
nnn
aSSr . (15)
Из неравенства (15) следует
11 ++
+<<−
nnnn
aSSaS , что можно запи-
сать иначе
1+
±=
nn
aSS . Следовательно, можно приближенно найти сумму
ряда, вычисляя его
−n ую частичную сумму
n
SS
≈
, абсолютная погреш-
ность такого приближения не превышает значения
1+n
a , то есть абсолют-
ной величины первого отбрасываемого члена ряда.
Примеры 26. Используя признак Даламбера, выяснить сходимость
или расходимость положительных рядов:
а)
∑
∞
=
+
1
2
4
n
n
n
; б)
∑
∞
=
+
−
1
13
25
n
n
n
; в)
∑
∞
=
+
1
2
4
n
n
n
.
Решение. а) Ряд
∑
∞
=
+
1
2
4
n
n
n
имеет
n
n
n
a
2
4
+
=
и
()
11
1
2
5
2
41
++
+
+
=
++
=
nn
n
nn
a
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- …
- следующая ›
- последняя »
