Составители:
Рубрика:
83
а)
(
)
∑
∞
=
−
1
4
1
2
n
n
n
; б)
(
)
∑
∞
=
+
−
1
1
1
n
n
n
.
Решение. а) Данный ряд
(
)
∑
∞
=
−
1
4
1
2
n
n
n
является знакопеременным. Его
абсолютный ряд имеет вид
∑
∞
=1
4
1
n
n
. Воспользуемся признаком Даламбера
для выяснения сходимости абсолютного ряда:
n
n
a
4
1
=
и
1
1
4
1
+
+
=
n
n
a ,
4
1
4
4
lim
4
1
:
4
1
limlim
11
1
===
+
∞→
+
∞→
+
∞→
n
n
n
nn
n
n
n
n
a
a
.
Так как
1
4
1
<=q , то абсолютный ряд сходится. По теореме 13 и данный
знакопеременный ряд сходится.
б) Абсолютный ряд ряда
(
)
∑
∞
=
+
−
1
1
1
n
n
n
является гармоническим рядом
∑
∞
=1
1
n
n
и он расходится. Сделать в этом случае вывод о сходимости данного
знакопеременного ряда нельзя, требуются дополнительные исследования.
Заметим, что данный ряд является знакочередующимся, и его общий член
()
n
a
n
n
1
1
+
−
=
удовлетворяет условиям теоремы Лейбница 14, а именно,
()
0
1
limlim
1
=
−
=
+
∞→∞→
n
a
n
n
n
n
и Nnвсехдляaa
nn
∈<
+1
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<
+ nn
кактак
1
1
1
.
Следовательно, ряд
()
∑
∞
=
+
−
1
1
1
n
n
n
сходится.
Пример 28. Найти приближенно сумму ряда
()
()
∑
∞
=
−
+
⋅−
−
1
1
1
10!1
1
n
n
n
n
, заменив
ее 4-ой частичной суммой, и оценить погрешность полученного прибли-
жения.
Решение. Данный ряд сходится, так как удовлетворяет условиям
теоремы Лейбница 14. Обозначим через
S его сумму, тогда получим
()
()
L+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+−=
⋅−
−
=
∑
∞
=
−
+
5432
1
1
1
10!5
1
10!4
1
10!3
1
10!2
1
10
1
1
10!1
1
n
n
n
n
S
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- …
- следующая ›
- последняя »
