Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

82
Вычислим
(
)
()
2
1
4
1
1
2
1
lim
42
25
lim
2
4
:
2
5
limlim
11
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+=
+
+
=
++
=
∞→
+
∞→
+
∞→
+
∞→
n
n
nnn
a
a
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
. Таким
образом,
2
1
lim
1
=
+
∞→
n
n
n
a
a
. Обозначим
2
1
=q . Так как 1
2
1
<=q , то по признаку
Даламбера ряд сходится.
б) Ряд
∑
∞
=
+
−
1
13
25
n
n
n
имеет
13
25
+
−
=
n
n
n
a и
13
25
1
1
1
+
−
=
+
+
+
n
n
n
a . Вычислим
()()
()()
.
3
5
;
3
5
5
2
1
3
1
1
3
1
1
5
2
1
3
5
lim
5
2
15
3
1
13
3
1
13
5
2
15
lim
2513
1325
lim
13
25
:
13
25
limlim
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
−+
+−
=
+
−
+
−
=
+
+
∞→
+
+
+
+
∞→
+
+
∞→
+
+
∞→
+
∞→
q
a
a
nn
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Так как
1
3
5
>=q
, то по признаку Даламбера следует, что ряд расходится.
в) Ряд
∑
∞
=
+
1
2
4
n
n
n
имеем
4
2
+
=
n
n
a
n
и
()
41
1
2
1
++
+
=
+
n
n
a
n
. Вычислим
()
()
()
.1,1
41
1
4
1
1
1
lim
41
1
4
1
1
1
lim
41
41
lim
4
:
41
1
limlim
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
1
==
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⋅++
++
=
+
++
+
=
∞→
∞→∞→∞→
+
∞→
q
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
nn
n
n
n
n
a
a
n
nnn
n
n
n
Решить вопрос о сходимости данного ряда по признаку Даламбера не уда-
лось. Найдём
1
4
1
1
lim
4
1
lim
4
limlim
22
2
=
+
=
+⋅
=
+
=
∞→∞→∞→∞→
nn
n
n
n
n
a
nnn
n
n
. Так как об-
щий член
n
a не стремится к нулю при
∞
→n , то ряд расходится по следст-
вию к необходимому признаку сходимости ряда.
Пример 27. Исследовать на сходимость ряды:

Страницы