Составители:
101
Замечание 2. Можно доказать, что степенной ряд, представляющий
аналитическую в некотором круге функцию, определен однозначно.
Получим еще одно выражение для коэффициентов
n
c . Положим
0
zz
=
в формуле (2), получим
(
)
00
cz
f
=
.
Продифференцируем ряд (2) почленно:
()
()
1
1
0
−
∞
=
∑
−⋅=
′
n
n
n
zznczf
и в полученном равенстве положим
0
zz
=
, тогда
(
)
10
c
z
f
=
′
.
Аналогично, положив
0
zz
=
в выражении для производной
k
-го по-
рядка. Имеем:
()
() ( ) ( )
()
kn
kn
n
k
zzknnnczf
−
∞
=
−+−−⋅=
∑
0
11 K
,
получим
()
()
!
0
kczf
k
k
⋅=
. Откуда
(
)
(
)
!
0
n
zf
c
n
n
=
. (4)
Тогда ряд (2) примет вид
()
(
)
(
)
()
∑
∞
=
−=
0
0
0
!
n
n
n
zz
n
zf
zf . (5)
Ряд (5) называется
рядом Тейлора.
Сравнивая выражения (3) и (4) для коэффициентов
n
c
, имеем
(
)
()
(
)
(
)
!2
1
0
1
0
n
zf
d
z
f
i
c
n
C
n
n
=
−
=
∫
+
+
ξ
ξ
ξ
π
.
Отсюда получаем интегральное представление для производных любо-
го порядка аналитической функции.
()
()
(
)
()
∫
+
+
−
=
C
n
n
z
d
f
i
n
zf
1
0
0
2
!
ξ
ξ
ξ
π
, (6)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- …
- следующая ›
- последняя »
