Составители:
102
где
С
- любой замкнутый контур, лежащий в области аналитичности и со-
держащий внутри точку
0
z (формула (6) была ранее получена в гл. II §5).
Пример 1. Разложить функцию
(
)
zzf ln
=
в ряд Тейлора в окрестности
точки
1
0
=z
.
Решение. Функция
()
∫
==
z
d
zzf
1
ln
ξ
ξ
была рассмотрена в §10 главы
2. Ее производные:
()
z
zf
1
=
′
;
()
2
1
z
zf −=
′′
;
()
3
2
z
zf =
′′′
; …;
()
() ( )
()
n
n
n
z
n
zf
!1
1
1
−
−=
−
.
Вычислим коэффициенты
n
c по формуле (4):
()
()
(
)
n
z
n
n
c
n
z
n
n
n
1
1
1
1!1
1
!
1
−
=
−
−
=
−
−=
, K,2,1
=
n , 01ln
0
==c .
Тогда
(
)
()
∑
∞
=
−
−
−
=
1
1
1
1
ln
n
n
n
z
n
z . (7)
С помощью признака Д’Аламбера, применяемого к ряду, составленно-
му из модулей членов ряда (7), легко убедиться, что кругом сходимости ряда
(7) является круг
11 <−z .
Пример 2. Вычислить
()
∫
+
−
C
z
iz
dze
4
,
где
C
- окружность 21 =−z .
Решение. Так как точка
iz
=
0
лежит внутри окружности 21
=
−
z , а
функция
()
z
ezf = - аналитическая на всей комплексной плоскости, то для
вычисления интеграла удобно применить формулу (6), считая в ней:
3
=
n ,
iz =
0
. Имеем
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- …
- следующая ›
- последняя »
