Составители:
104
Теорема Лиувилля. Если функция
(
)
zf является аналитической на
всей комплексной плоскости, а ее модуль равномерно ограничен, то она тож-
дественно равна постоянной.
Доказательство. В условиях теоремы:
()
MzM
=
ρ
;
0
, для любых
0
z и
ρ
, причем
ρ
может быть сколь угодно
большим. Пользуясь неравенствами Коши, имеем
n
n
M
c
ρ
≤ , K,2,1,0
=
n .
Переходя в полученном неравенстве к пределу при
∞→
ρ
, получим
0
=
n
c
для
1≥n . Следовательно
(
)
0
cz
f
≡
.
Определение. Функция
(
)
zf называется целой, если она является ана-
литической на всей комплексной плоскости C .
§2. Нули аналитической функции
Определение 1. Точка
0
z , в которой
(
)
0
0
=
zf , называется нулем функ-
ции
()
zf .
Пусть
()
zf
- аналитическая в области D функция, а ее нуль – точка
Dz
∈
0
. Тогда в окрестности точки
0
z функция
(
)
zf представима степенным
рядом (см. §1).
()
()
∑
∞
=
−=
0
0
n
n
n
zzczf .
Поскольку
(
)
0
0
=
z
f
, то 0
0
=
c . Если не только коэффициент
0
c , но и
коэффициенты
1
c ,
2
c , …,
1−k
c равны нулю, а коэффициент
k
c отличен от
нуля, то точка
0
z называется нулем порядка
k
. В этом случае
()
zf предста-
вима в виде
()
()() ()
=+−+−=−=
+
+
∞
=
∑
K
1
0100
0
k
k
k
k
n
n
n
zzczzczzczf
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- …
- следующая ›
- последняя »
