Составители:
106
§3. Ряд Лорана
Рассмотрим круговое кольцо
K
, ограниченное двумя окружностями с
общим центром
0
z .
201
: RzzRK
<
−
<
,
21
RR
<
(см. рис. 1).
Пусть функция
()
zf
- аналитиче-
ская в кольце
K
. Покажем, что в этом
случае функция
(
)
zf есть сумма особого
ряда (по положительным и отрицатель-
ным степеням
0
zz
−
), называемого ря-
дом Лорана.
Рассмотрим произвольную точку
K
z
∈ . Построим окружности
1
C и
2
C с центром в точке
0
z и радиусами
1
r и
2
r
, удовлетворяющими условию
22011
RrzzrR
<
<
−
<
<
(см. рис. 1) (ок-
ружности
1
C и
2
C лежат в кольце
K
, а точка z находится внутри кольца,
образованного этими окружностями).
Функция
()
zf будет аналитической в кольце между
1
C и
2
C , включая
сами окружности. Применяя формулу Коши для двусвязной области, получа-
ем
()
(
) ()
∫∫
++
−
−
−
=
12
2
1
2
1
СС
d
z
f
i
d
z
f
i
zf
ξ
ξ
ξ
π
ξ
ξ
ξ
π
. (1)
Преобразуем каждое слагаемое формулы (1).
1) В первом интеграле формулы (1)
ξ
обозначает точку окружности
2
C
,
следовательно выполняется неравенство
1
2
0
0
0
<
−
=
−
−
r
zz
z
zz
ξ
.
Тогда
()
()
()
∑∑
∞
=
+
∞
=
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
=
−
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
11
n
n
n
n
n
z
zz
z
zz
z
z
zz
z
z
ξ
ξξ
ξ
ξ
ξ
,
z
Рис. 1
|z-z
0
|
z
0
C
1
C
2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- …
- следующая ›
- последняя »
